命题逻辑:语义

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在命题逻辑中有两个真值: t 表示“true” f 表示“false”。首先,我们用一个例子,并问自己的公式是否一个是真实的。答案是:它取决于变量 A B 是否为真。例如,如果是 A.

代表下雨了今天今天真冷而这些都是真的话,那么一个是真实的。但是,如果表示今天天气很热(这是假的),那么一个是假的。

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显然,我们必须将反映世界状况的真值分配给建议变量。因此我们定义

 

定义2.3 映射 I Σ →{ wf } ,它指定一个真值

 

每个命题变量都称为解释

因为每个命题变量都可以采用两个真值,所以每个具有n不同变量的命题逻辑公式都有2 n种不同的解释。我们通过展示在所有可能的interpreta-蒸发散定义了基本操作的真值真值表(见表2.1 17)。

对于所有解释,空公式都是正确的。为了确定复杂公式的真值,我们还必须定义逻辑运算符的运算顺序。如果表达式带括号,则计算括号中的术语

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1.  
语义学17

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2.1定义

真值表的逻辑运算符

ABA¬ AA BA BA BA

 

第一。对于不具有特征的公式,优先级按如下顺序排列,从最强的绑定开始: ¬

明确区分公式的等价性和句法等价

我们定义

 

定义2.4如果两个公式 F G 对所有解释都采用相同的真值,则它们在语义上称为等价。我们写 ˚F

 

语义等价最重要的是能够使用元语言,即自然语言来谈论对象语言,即逻辑。该声明

传达两个公式是语义上等同。语句,另一方面是命题逻辑的形式语言的句法对象。

§ 如果对于至少一种解释是正确的,则是可满足的

根据公式有多少解释,我们可以将公式划分为以下类:

 

 

定义2.5 调用公式

 

§ 如果对所有解释都适用,逻辑上有效或简单有效。真的

 

§ 如果任何解释都不适用,则不满意

 

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满足公式的每个解释都称为公式的模型

穆拉也被称为重言式

显然,对每个通常有效的公式的否定是不可满足的。否定一个可满足但通常无效的公式F是可以满足的。

我们现在能够为复杂的公式创建真值表,以确定它们的真值。我们立即使用在实践中重要的公式的等价物来实施。

 

 

定理2.1操作是交换和关联的并且

 

B C

A∨BA∨C

分配法

 

重言式)(矛盾

 

一个 w ^

 

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一个

wf A.

一个 ˚F

一个 w ^

一个 ˚F

A∧BA∧C

w ^

F

一个∧¬一个

¬ ∧¬

一个∨¬一个

B C

¬ ∨¬

¬ A∧B

¬ A∨B

暗示)(对位)(等价

德摩根定律

AB

¬ ¬

一个

一个

ABBA

¬

以下等价通常是有效的

¬∨

证明为了显示第一个等价,我们计算 AB AB 的真值表,并看出两个公式的真值对于所有解释都是相同的。因此公式是等价的,因此最后一列的所有值都是 t

 

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AB ¬¬ BA B¬ BA Bttfttt

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其他等价的证明是相似的,建议作为读者练习(第 29 页的练习 2.2 )。

 

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