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在命题逻辑中有两个真值: t 表示“true”, f 表示“false”。首先,我们用一个例子,并问自己的公式是否一个∧乙是真实的。答案是:它取决于变量 A 和 B 是否为真。例如,如果是 A.
代表“下雨了今天”和乙为“今天真冷”而这些都是真的话,那么一个∧乙是真实的。但是,如果乙表示“今天天气很热”(这是假的),那么一个∧乙是假的。
显然,我们必须将反映世界状况的真值分配给建议变量。因此我们定义
定义2.3 映射 I : Σ →{ w,f } ,它指定一个真值
每个命题变量都称为解释。
因为每个命题变量都可以采用两个真值,所以每个具有n个不同变量的命题逻辑公式都有2 n种不同的解释。我们通过展示在所有可能的interpreta-蒸发散定义了基本操作的真值真值表(见表2.1 页17)。
对于所有解释,空公式都是正确的。为了确定复杂公式的真值,我们还必须定义逻辑运算符的运算顺序。如果表达式带括号,则计算括号中的术语
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表2.1的定义
真值表的逻辑运算符
AB(A)¬ AA ∧ BA ∨ BA ⇒ BA ⇔乙
第一。对于不具有特征的公式,优先级按如下顺序排列,从最强的绑定开始: ¬ , ∧ , ∨ , ⇒
, ⇔ 。
明确区分公式的等价性和句法等价
我们定义
定义2.4如果两个公式 F 和 G 对所有解释都采用相同的真值,则它们在语义上称为等价。我们写 ˚F ≡摹。
语义等价最重要的是能够使用元语言,即自然语言来谈论对象语言,即逻辑。该声明
“甲≡乙”传达两个公式甲和乙是语义上等同。语句“甲⇔乙”,另一方面是命题逻辑的形式语言的句法对象。
§ 如果对于至少一种解释是正确的,则是可满足的。
根据公式有多少解释,我们可以将公式划分为以下类:
定义2.5 调用公式
§ 如果对所有解释都适用,则逻辑上有效或简单有效。真的 –
§ 如果任何解释都不适用,则不满意。
满足公式的每个解释都称为公式的模型。
穆拉也被称为重言式。
显然,对每个通常有效的公式的否定是不可满足的。否定一个可满足但通常无效的公式F是可以满足的。
我们现在能够为复杂的公式创建真值表,以确定它们的真值。我们立即使用在实践中重要的公式的等价物来实施。
定理2.1操作 ∧, ∨是交换和关联的,并且
甲∨(B ∧ C)
⇔
(A∨B)∧(A∨C)
(分配法)
(重言式)(矛盾)
一个∨ w ^
⇔
一个
wf A.
⇔
⇔
一个∧ ˚F
一个∧ w ^
⇔
⇔
一个∨ ˚F
(A∧B)∨(A∧C)
w ^
F
⇔
一个∧¬一个
¬ 甲 ∧¬ 乙
⇔
⇔
一个∨¬一个
甲∧(B ∨ C)
⇔¬ 甲 ∨¬ 乙
¬ ( A∧B )
¬ ( A∨B )
(暗示)(对位)(等价)
(德摩根定律)
(A⇔B)
¬ 乙 ⇒¬ 甲
⇔
一个⇒乙
⇔
⇔
一个⇒乙
(A⇒B)∧(B⇒A)
¬ 甲 ∨ 乙
以下等价通常是有效的:
⇒
¬∨
证明为了显示第一个等价,我们计算 AB 和 AB 的真值表,并看出两个公式的真值对于所有解释都是相同的。因此公式是等价的,因此最后一列的所有值都是“ t ”。
AB ¬甲¬甲∨ BA ⇒ B(¬甲∨ B)⇔(A ⇒ B)ttfttt
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其他等价的证明是相似的,建议作为读者练习(第 29 页的练习 2.2 )。